Докладчик

Цели

Изучить и построить модель конкуренции двух фирм.

Теоретическое введение

Обозначим:

N - число потребителей производимого продукта.

S – доходы потребителей данного продукта. Считаем, что доходы всех потребителей одинаковы. Это предположение справедливо, если речь идет об одной рыночной нише, т.е. производимый продукт ориентирован на определенный слой населения.

M – оборотные средства предприятия

Теоретическое введение

τ - длительность производственного цикла

p - рыночная цена товара

p̃ - себестоимость продукта, то есть переменные издержки на производство единицы продукции

δ - доля оборотных средств, идущая на покрытие переменных издержек

k - постоянные издержки, которые не зависят от количества выпускаемой продукции

Q(S/p) – функция спроса, зависящая от отношения дохода S к цене p. Она равна количеству продукта, потребляемого одним потребителем в единицу времени.

Теоретическое введение

Функцию спроса товаров долговременного использования часто представляют в простейшей форме:

$$Q = q - k\frac{p}{S} = q(1 - \frac{p}{p_{cr}})$$

где q – максимальная потребность одного человека в продукте в единицу времени. Эта функция падает с ростом цены и при p = p_cr (критическая стоимость продукта) потребители отказываются от приобретения товара. Величина p_cr = Sq/k. Параметр k – мера эластичности функции спроса по цене. Таким образом, функция спроса является пороговой (то есть, Q(S/p) = 0 при p ≥ p_cr) и обладает свойствами насыщения.

Теоретическое введение

Уравнения динамики оборотных средств можно записать в виде:

$$\frac{dM}{dt} = -\frac{M \delta}{\tau} + NQp - k = -\frac{M\delta}{\tau} + Nq(1 - \frac{p}{p_{cr}})p - k$$

Уравнение для рыночной цены p представим в виде:

$$\frac{dp}{dt} = \gamma (-\frac{M\delta}{\tau \widetilde{p}} + Nq(1-\frac{p}{p_{cr}}) )$$

Теоретическое введение

Первый член соответствует количеству поставляемого на рынок товара (то есть, предложению), а второй член – спросу. Параметр γ зависит от скорости оборота товаров на рынке. Как правило, время торгового оборота существенно меньше времени производственного цикла τ. При заданном M уравнение описывает быстрое стремление цены к равновесному значению цены, которое устойчиво.

Теоретическое введение

В этом случае уравнение можно заменить алгебраическим соотношением

$$ -\frac{M\delta}{\tau \widetilde{p}} + Nq(1-\frac{p}{p_{cr}}) = 0$$

равновесное значение цены p равно

$$ p = p_{cr}(1 - \frac{M\delta}{\tau \widetilde{p} Nq})$$

Тогда уравнения динамики оборотных средств приобретает вид

$$\frac{dM}{dt} = -\frac{M \delta}{\tau}(\frac{p}{p_{cr}}-1) - M^2 ( \frac{\delta}{\tau \widetilde{p} })^2 \frac{p_{cr}}{Nq} - k$$

Теоретическое введение

Это уравнение имеет два стационарных решения, соответствующих условию dM/dt = 0

$$ \widetilde{M_{1,2}} = \frac{1}{2} a \pm \sqrt{\frac{a^2}{4} - b}$$

где

$$ a = Nq(1 - \frac{\widetilde{p}}{p_{cr}} \widetilde{p} \frac{\tau}{\delta}), b = kNq \frac{(\tau \widetilde{p})^2}{p_{cr}\delta ^2} $$

Теоретическое введение

Получается, что при больших постоянных издержках (в случае a² < 4b) стационарных состояний нет. Это означает, что в этих условиях фирма не может функционировать стабильно, то есть, терпит банкротство. Однако, как правило, постоянные затраты малы по сравнению с переменными (то есть, b <  < a²) и играют роль, только в случае, когда оборотные средства малы.

Теоретическое введение

ри b <  < a стационарные значения M равны

$$ \widetilde{M_{+}} = Nq \frac{\tau}{\delta}(1 - \frac{\widetilde{p}}{p_{cr}})\widetilde{p}, \widetilde{M_{-}} = k\widetilde{p} \frac{\tau}{\delta(p_{cr} - \widetilde{p})} $$

Теоретическое введение

Первое состояние $\widetilde{M_{+}}$ устойчиво и соответствует стабильному функционированию предприятия. Второе состояние \widetilde{M_{-} неустойчиво, так, что при $M < \widetilde{M_{-}}$ оборотные средства падают (dM/dt < 0), то есть, фирма идет к банкротству. По смыслу $\widetilde{M_{-}}$ соответствует начальному капиталу, необходимому для входа в рынок.

Теоретическое введение

В обсуждаемой модели параметр δ всюду входит в сочетании с τ. Это значит, что уменьшение доли оборотных средств, вкладываемых в производство, эквивалентно удлинению производственного цикла. Поэтому мы в дальнейшем положим: δ = 1, а параметр τ будем считать временем цикла, с учётом сказанного.

Задание

Вариант 32:

Случай 1

Рассмотрим две фирмы, производящие взаимозаменяемые товары одинакового качества и находящиеся в одной рыночной нише. Считаем, что в рамках нашей модели конкурентная борьба ведётся только рыночными методами. То есть, конкуренты могут влиять на противника путем изменения параметров своего производства: себестоимость, время цикла, но не могут прямо вмешиваться в ситуацию на рынке («назначать» цену или влиять на потребителей каким-либо иным способом.) Будем считать, что постоянные издержки пренебрежимо малы, и в модели учитывать не будем. В этом случае динамика изменения объемов продаж фирмы 1 и фирмы 2 описывается следующей системой уравнений:

Задание

$$\frac{dM_1}{d\Theta} = M_1 - \frac{b}{c_1}M_1 M_2 - \frac{a1}{c1} M_1^2 $$

$$ \frac{dM_2}{d\Theta} = \frac{c_2}{c_1} M_2 - \frac{b}{c_1} M_1 M_2 - \frac{a_2}{c_1} M_2^2$$ где

Задание

$$ a_1 = \frac{p_{cr}}{\tau_1^2 \widetilde{p}_1^2 Nq } $$ $$ a_2 = \frac{p_{cr}}{\tau_2^2 \widetilde{p}_2^2 Nq } $$ $$ b = \frac{p_{cr}}{\tau_1^2 \widetilde{p}_1^2 \tau_2^2 \widetilde{p}_2^2 Nq} $$ $$ c_1 = \frac{p_{cr} - \widetilde{p}_1}{\tau_1 \widetilde{p}_1} $$ $$ c_2 = \frac{p_{cr} - \widetilde{p}_2}{\tau_2 \widetilde{p}_2} $$

также введена нормировка t = c₁Θ

Задание

Случай 2

Рассмотрим модель, когда, помимо экономического фактора влияния (изменение себестоимости, производственного цикла, использование кредита и т.п.), используются еще и социально-психологические факторы – формирование общественного предпочтения одного товара другому, не зависимо от их качества и цены. В этом случае взаимодействие двух фирм будет зависеть друг от друга, соответственно коэффициент перед M₁M₂ будет отличаться. Пусть в рамках рассматриваемой модели динамика изменения объемов продаж фирмы 1 и фирмы 2 описывается следующей системой уравнений:

Задание

$$\frac{dM_1}{d\Theta} = M_1 - (\frac{b}{c_1} + 0.00033)M_1 M_2 - \frac{a1}{c1} M_1^2 $$

$$ \frac{dM_2}{d\Theta} = \frac{c_2}{c_1} M_2 - \frac{b}{c_1} M_1 M_2 - \frac{a_2}{c_1} M_2^2$$

Задание

Для обоих случаев рассмотрим задачу со следующими начальными условиями и параметрами

M₀¹ = 3.3 M₀² = 2.2 p_cr = 26 N = 33 q = 1 τ₁ = 25 τ₂ = 14 p̃₁ = 5.5 p̃₂ = 11